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常见距离与相似度度量

欧氏距离

定义在两个向量（两个点）上：点和点的欧氏距离为：

闵可夫斯基距离

Minkowski distance， 两个向量（点）的阶距离：

当时就是曼哈顿距离，当时就是欧氏距离。

马氏距离

定义在两个向量（两个点）上，这两个点在同一个分布里。点和点的马氏距离为：

其中，是这个分布的协方差。

当时，马氏距离退化为欧氏距离。

互信息

定义在两个概率分布上，.它们的互信息为：

余弦相似度

衡量两个向量的相关性（夹角的余弦）。向量的余弦相似度为：

理解：向量的内积除以向量的数量积。

皮尔逊相关系数

衡量两个随机变量的相关性。随机变量的Pearson相关系数为：

理解：协方差矩阵除以标准差之积。

范围：[-1,1]，绝对值越大表示（正/负）相关性越大。

Jaccard相关系数

对两个集合，判断他们的相关性，借用集合的手段：

理解：两个集合的交集除以并集。

扩展：Jaccard距离=1-J。

概率分布的距离度量

KL散度

Kullback–Leibler divergence，相对熵，衡量两个概率分布的距离：

这是一个非对称距离：.

JS距离

Jensen–Shannon divergence，基于KL散度发展而来，是对称度量：

其中。

MMD距离

Maximum mean discrepancy，度量在再生希尔伯特空间中两个分布的距离，是一种核学习方法。两个随机变量的距离为：

其中是映射，用于把原变量映射到高维空间中。

理解：就是求两堆数据在高维空间中的均值的距离。

Principal angle

也是将两个分布映射到高维空间（格拉斯曼流形）中，在流形中两堆数据就可以看成两个点。Principal angle是求这两堆数据的对应维度的夹角之和。对于两个矩阵，计算方法：首先正交化（用PCA）两个矩阵，然后：

其中分别是两个矩阵的维度，是两个矩阵第$i$个维度的夹角，是两个矩阵SVD后的角度：

HSIC

希尔伯特-施密特独立性系数，Hilbert-Schmidt Independence Criterion，用来检验两组数据的独立性：

其中是两堆数据的kernel形式。

Earth Mover’s Distance

推土机距离，度量两个分布之间的距离，又叫Wasserstein distance。以最优运输的观点来看，就是分布能够变换成分布所需要的最小代价：

一个二分图上的流问题，最小代价就是最小流，用匈牙利算法可以解决。

References

[1] 

[2] 

[作者简介]王晋东(不在家)，中国科学院计算技术研究所博士生，目前研究方向为机器学习、迁移学习、人工智能等。作者联系方式：微博@ ，个人网站。

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